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最終更新日　：　2008.10.17

共分散分析モデル



　共分散分析モデルとは連続型変数とカテゴリカル型変数が混在している場合のことをさす。ここでは最初に交互作用項が存在しない場合の共分散分析モデルについて解説する（式1）。それに続いて連続型変数とカテゴリカル型変数の交互作用について解説することにする（式2）。

Y = X1 + X2 (X1は連続型、X2はカテゴリカル型)　・・・　式1

Y = X1 + X2 + X1*X2 (X1は連続型、X2はカテゴリカル型)　・・・　式2

　表1は砲丸投げの記録（Score）と体重（Weight）、それから性別（Sex）をまとめたものである。従属変数をScore、独立変数をWeight（連続型）とSex（カテゴリカル型）として解析してみよう（式3）。

Score = Weight + Sex　・・・　式3


表1　
砲丸投げの記録
Score Weight Sex
18.5 67.4 1
16.9 65.6 1
16.3 63.6 1
19.1 76.8 1
15.1 61.7 1
19.9 75.5 1
20.3 78.6 1
16.5 66.9 1
15.7 65.4 1
17.6 66.2 1
10.5 53.5 2
13.5 66.2 2
13.3 56.6 2
9.2 44.4 2
8.8 41.2 2
13.7 57.6 2
11.8 60.8 2
11.6 52.6 2
10.9 49.7 2
11.4 60.5 2

　以下はRによって得られた係数表である。関数lm()を用いた解析方法は分散分析モデルと回帰分析モデルでの手順と全く同じなので省略した。ただ、モデル式にSexを指定する際には、あらかじめas.factor()を用いてカテゴリカル型であることを指定しておく必要がある点にだけ注意してもらいたい。

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  2.53135    2.18271   1.160 0.262189    
Weight       0.21897    0.03146   6.961  2.3e-06 ***
Sex2        -2.95368    0.61238  -4.823 0.000159 ***

　係数表より以下のような2つの式が得られる。式4は男性について、式5は女性についての回帰方程式（直線の方程式）である。

Score = 2.53 + 0.22*Weight + 0　・・・　式4（男性）

Score = 2.53 + 0.22*Weight - 2.95　・・・　式5（女性）

　これを表したものが図1である。いうまでもないかもしれないが、青い直線が式4によって描かれた直線であり、一方で赤い直線が式5によって描かれた直線である。また、2直線それぞれの傾きは同じである（いずれも0.22である）。つまり2直線は平行であり、平行間の距離（すなわち2.95という値）は男性と女性との群間差であることを示している。

　したがって次のようなことが主張できる。


図1　式4と式5の直線を当てはめた場合

　続いて交互作用が認められる場合とはどのようなときであろうか。もし仮に交互作用が認められるのであれば、2本の直線は平行ではなくなる（図2, 2本の直線の傾きは有意に異なるだろう）。これはどのようなことを意味しているかというと、カテゴリカル型変数の水準（Sex : Men, Women）によって増減量が異なるということである。図2に関していえば、男性の水準においてはより多くの増加量が認められるということである。

　共分散分析モデルを当てはめる場合、以下の点について注意して解釈すると良いだろう。


図2　交互作用が認められる場合