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最終更新日： 2009.9.11
共分散構造分析において、解析したモデルが正しいかどうか（真のモデルに適合しているかどうか）を判断するための指標が適合度指標と呼ばれるものである。この適合度指標はいくつかあるが、どの適合度指標を採用すればよいかと疑問に思うかもしれない。しかし、どれが良いかという問題ではなく、出力されるいくつかの適合度指標それぞれの性質を理解し、相互的に判断していくことが重要である。そこで、ここでは(1)指標の意味、(2)その指標の問題点、といった2点をまとめて説明していくことにする。
なお、以下の項目はLISRELのOUTファイルに表示されている順になっているので、LISRELの結果と一緒に見ていけるように配慮している。
(1) 指標の意味
これは「解析されたモデルは真のモデルに適合する」という帰無仮説について検定するものである。つまり、この場合は帰無仮説が採択されることが望ましいので、カイ自乗値（検定統計量）はより小さく、p値はより大きなものであることが望ましいといえる。
(2) 指標の問題点
サンプルサイズが大きければ得られるp値も大きくなる（つまり第1種の過誤を犯す確率が高くなる）。共分散構造分析ではサンプルサイズが大きいことが多い（というか、サンプルサイズが大きくないとパラメータの推定ができない）ので、実際にはこのカイ自乗検定の結果はあまり役に立たないことが多い。
■ NCP（Estimated Non-centrality Parameter）
(1) 指標の意味
カイ自乗値から自由度を引いた値が、このNCPという指標である。この値は0に近ければ近いほど、そのモデルがよく適合しているものであると判断される。ただし、マイナスの符号を持つ場合は0であるとみなされる。
NCP = カイ自乗値 - 自由度
(2) 指標の問題点
NCPがどの程度の値ならばよく適合しているかという経験的な判断の基準値がない。LISRELでは90 Percent Confidence Interval for NCPという90%の信頼区間が出力されるので、信頼区間に0が含まれていれば良いモデルであると判断してよいだろう。
■ F0（Population Discrepancy Function Value）
(1) 指標の意味
NCPをn - 1で割って補正したもの（nはサンプルサイズ）がこのF0という指標である。NCPと同様に、この値は0に近ければ近いほどモデルがよい適合度を示していると判断される。
F0 = NCP / (n - 1)
(2) 指標の問題点
これも経験的な判断の基準が存在していない。LISRELでは90 Percent Confidence Interval for F0という90%の信頼区間が出力されるので、信頼区間に0が含まれていれば良いモデルであると判断してよいだろう。
■ RMSEA（Root Mean Square Error of Approximation）
(1) 指標の意味
F0を自由度で割って補正したものがRMSEAである。LISRELの出力するパス図には、最初に述べたカイ自乗検定の結果と共に、このRMSEAが表示される。これもまた、0に近いほど好ましいとされているが、これは経験的に0.05よりも小さければ、そのモデルが真のモデルに適合していると判断できるとされている。
RMSEA = sqrt(F0 / 自由度)
RMSEA < 0.05 ⇒ よいモデルであると判断
(2) 指標の問題点
特になし。LISRELでは90 Percent Confidence Interval for RMSEAという90%の信頼区間が出力されるので、信頼区間に0が含まれていれば良いモデルであると判断してよいだろう。また、これに併せてP-Value for Test of Close Fit (RMSEA < 0.05) という、「RMSEAは0.05より小さい」という帰無仮説についての検定結果（p値）も得られる。当然、この場合も帰無仮説は採択されることが望ましい。
■ ECVI（Expected Cross-Validation Index）
(1) 指標の意味
これは次に説明するAICをn - 1で割って補正したものであり、LISRELでは90 Percent Confidence Interval for ECVIという90%の信頼区間が出力される。90%信頼区間はAICについては得られないので、信頼区間を考慮してモデルの比較を行う場合にはAICなどよりもECVIの方が優れているといえる。
ECVI = AIC / (n - 1)
(2) 指標の問題点
ECVIは2つ以上のモデルを比較する際に用いられる指標である。それゆえ、ECVIの値には絶対的な基準がないため、これ1つだけでは何の意味も持たないということになる。ECVIは小さいほど良いモデルであることを意味しており、例えば、AというモデルはECVI = 0.38、BというモデルはECVI = 3.45であるとしたら、Aの方がECVIの値が小さいのでより好ましいモデルであるといえる。
(1) 指標の意味
ECVIと同じく、2つ以上のモデルを比較するときに用いる指標であり、これらの値は小さいほど良いモデルであることを意味している。
AIC = χ2 - 2 * DF
CAIC = χ2 - (log(n) + 1) * df
(2) 問題点
ECVIと同じ。
■ NFI（Normed Fit Index）, NNFI（Non-Normed Fit Index）, PFI（Parsimony Normed Fit Index）
(1) 指標の意味
NFIを含めた、以降に紹介する指標は全て、独立モデルと解析されたモデルの適合度（カイ自乗値）を比較したものである。独立モデルとは変数間に一切の関係を仮定しない（変数から変数へ矢印が1つも引かれない）モデルのことである。この独立モデルの適合度と比べて、解析されたモデルの適合度がどれほど改善されたかを表したものなのである。これらはいずれも1に近いほど、そのモデルが良いモデルであると判断される。
NFI = 1 - F / Fi
NNFI = (fi - f) / (fi - 1)
PNFI = (d / di) * (1 - F / Fi)
ここに、Fは解析されたモデルの統計量（適合度の検定に用いた検定統計量）、Fiは独立モデルの統計量（添え字のiはindependenceのiである）、fはf = n * F / dによって計算される値で、fiはfi = n * Fi / diによって計算される値である。さらに、dは解析されたモデルにおける自由度であり、diは独立モデルにおける自由度である。
(2) 指標の問題点
NFIは0から1の値をとるので、1に近いほど良いモデルであると判断できる。NNFIもPNFIもNFIをサンプルサイズや自由度を考慮して補正されたものであるが、指標の意味するところは基本的に同じである。
(1) 指標の意味
計算式が異なるが、NFIと基本的に同じものである。
CFI = 1 - τ / τi
ここにτ = max(n * F - d, 0)であり、τi = max(n * Fi - di, n * F - d, 0)である。なお、max()は最大値を返す関数である。
(2) 指標の問題点
NFIと同じ。
(1) 指標の意味
計算式が異なるが、NFIと基本的に同じ。
IFI = (n * Fi - n * F) / (n * Fi - d)
(2) 指標の問題点
NFIと同じ。
(1) 指標の意味
計算式が異なるが、NFIと基本的に同じ。
RFI = (fi - f) / fi
(2) 指標の問題点
基本的にはNFIと同じだが、RFIは1以上の値が得られることもあるので、その場合は値が大きいほど良いモデルであると判断すればよい。
(1) 指標の意味
冒頭で述べたように、カイ自乗検定はサンプルサイズが大きくなると得られるp値も小さくなる（つまり第1種の過誤を犯す確率が高くなる）。そこでサンプルサイズは大きい場合に適用できる（適用するのが妥当である）指標として開発されたのがCNという指標である。
CN = χ21-α / F + 1
ここにχ21-αというのは、カイ自乗分布における1 - αの棄却限界値（境界値）である。例えば、自由度19のカイ自乗分布における1 - 0.05の棄却限界値は30.14である。
(2) 指標の問題点
この指標の開発者Hoelterは有意水準α=0.05のとき、CNが200以上ならば良いモデルであると判断できる、と主張している。しかしながら、この主張には反論もあって、現在ではあまり適合度の指標としては採用されていないようである。むしろ、カイ自乗検定の保守的な解釈のために見られることが多い（そもそもCNという指標は日本であまり知られていないかもしれない）。
参考文献
