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最終更新日： 2009.7.25
2変数の関連性についての分析
2変数の関連性といっても、ここでは特にカテゴリカル型（計数データ）の分析法について述べる。クロス表の分析のページでは代表的な連関係数について紹介しているが、実はどの連関係数を採用するかによって、読者への印象をガラッと変えることができてしまう。そこで表1のデータについて、(1)独立性の検定、(2)連関係数、(3)ポアソン回帰モデルによる解析といった3つの異なるアプローチを紹介する。これらの手法は、目的は同等なものであるが、ずいぶんと読者に与える印象が違うことがわかるであろう。
| 子供ほしい | 子供ほしくない | |
| 結婚したい | 124 | 6 |
| 結婚したくない | 12 | 8 |
分析(1) 独立性の検定を行った場合
この帰無仮説について検定するとX-squared = 21.6354, df = 1, p-value = 3.297e-06という結果が得られる（イェーツの補正を行った場合）。例えば、有意水準を0.05としているならば帰無仮説は棄却され、2変数の関連が認められるということができる。ただし、これは独立であるかどうかという保守的な主張であり、どれだけ強い関連が認められるのかよく分からない。そのようなときに連関係数が役に立つ。
分析(2) 連関係数の算出
四分点位相関係数とユールの連関係数の2つを算出し、その値を比較してみよう。なお、四分点位相関係数は計数データを2値データ（0, 1）に変換してピアソンの積率相関係数を求めた場合と一致する。
さて、どうだろうか。論文に載せる場合、強い連関が認められたと主張するのであれば、明らかにユールノ連関係数を記述したほうが「強い連関があるのだろう」という印象をもたれるはずである。同じデータセットからでも、算出する代表値の種類によってはかなり異なった印象を与えてしまう。したがって、提示する側も読む側も、その指標がどのような意味を持つものであるのかをしっかりと理解しておかなければならない。厳しくいうならば、提示する側がその指標のほかにどのような指標があるのか、そしてそれぞれの特徴について明示すべきなのである。単に良い印象を与えるからという理由で、使用する指標を選択してはならない。また、読む側の人間としても、見かけ上の数値を単純に信用するのではなく、その数値は本当に適切な方法に基づいて得られたものであるのかを疑問視するだけの知識を持つべきである。
分析(3) ポアソン回帰モデルの当てはめ
心理学の分野ではメジャーな方法ではないが、一般化線形モデルの傘下にポアソン回帰モデルと呼ばれる手法がある。このポアソン回帰モデルの解析において、2変数の交互作用を検定することは、独立性の検定を行うことと実質的には同じである。以下にはポアソン回帰モデルを当てはめて解析した結果を示してある。
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 4.8203 0.0898 53.676 < 2e-16 ***
marryNo -2.3354 0.3023 -7.725 1.12e-14 ***
childNo -3.0285 0.4180 -7.245 4.32e-13 ***
marryNo:childNo 2.6231 0.6189 4.238 2.25e-05 ***
簡単に説明すると、ポアソン回帰とは各セルの計数を応答変数、結婚（Yes, No）と子供（Yes, No）を説明変数としたモデルである。応答変数が連続型であれば、分散分析モデルや重回帰モデル（一般線形モデル）として扱えるが、計数データの場合には適切ではない。単純に以下の2つの適切でない理由があげられる。
ともかく上記の結果を見てみると、交互作用項（marryNo:childNo）は有意であることが確認できる（p = 2.25e-05）。前述したように、ポアソン回帰において交互作用項が有意であるかどうかの検定は、独立性の検定を行うことと同義である。したがって、この結果からも2変数には関連性があるとの主張が可能となる。
ただし、ポアソン回帰の場合は2変数の関連性を調べるという観点ではなく、各セルの計数（度数）を予測するという観点での解析である。そのため、ポアソン回帰を行うことによって各セルの予測値が得られる。今回の解析では予測値が{124, 6, 12, 8}といったように各セルの計数を完全に予測できている（これは残差が0であることを意味する）。なお、上記の係数表の細かい見方はここでは割愛する。
まとめ
