標本調査法について

1．母集団と標本

　例えば「群馬県の高校生の学力調査」を行おうとしたとき、母集団は"群馬県に存在するすべての高校生"ということになります。しかし実際には群馬県に存在するすべての高校生（すなわち母集団）に対して調査を行うのは難しいでしょう。そこで母集団の中から何人かを抽出（サンプリング）して、そこから得た代表値をもとに母数を推定したりするわけです。ここでいう「そこから得た代表値」というのは、例えば標本平均だとか標本分散、標本標準偏差などのことを指しており、母数というのは母集団の代表値（すなわち母平均や母分散など）のことをいっています。

2．全数調査と標本調査

　母集団の構成員すべてに対して調査を実施するのは困難だから、母集団から何人かをサンプリングして調査を行うと説明しました。でも母集団の構成員すべてに対して調査が行われるような場合もあり、国勢調査などがその例としてあげられるでしょう。ここで、母集団すべてを調査することを"全数調査"といい、母集団からサンプリングして行う調査のことを"標本調査"といいます。私たちが一般に調査を行うという場合はそのほとんどが標本調査です。

3．標本抽出（サンプリング）の方法

　さて私たちが行っている調査のほとんどは標本調査であり、標本調査とは母集団からサンプリングする必要があるということが分かりました。しかしサンプリングをするといっても、いったいどのようにしてサンプリングを行えば統計学的に"正しい調査結果"を得ることができるのでしょうか。
　実は標本抽出法（サンプリング法）にはいくつかの種類があり、それらの方法はちゃんと数学的な理論にもとづいて考えられた方法なのです。本当はこれらの根本的な理論をしっかりと理解しておく必要があるのですが、実務的にはどのようなサンプリング法があり、どのような場合に用いるのが適切であるか、などといったことを把握しておけば十分でしょう。

4.　標本数（サンプル数）と標本の大きさ（サンプルサイズ）

　例えば1000人（母集団）から100人を抽出した場合,標本数は1,標本の大きさは100ということになります。通常,標本数はk,標本の大きさはnで表記されていますが標本数と標本の大きさを誤って書いている（または説明している）書籍があるので注意してください。本を書いているのは,いわゆる統計学のプロですから大学の講義などでも誤って説明している場合も考えられるので学生の諸君は注意して聞いてください。
　たまにデパートなどで500円のつかみ取りなどをやっています。この箱に入っている500円玉全てを母集団とすれば,つかみ取った回数が標本数であり,1回でつかみ取れた500円玉の数が標本の大きさです。

**表.1　標本数と標本の大きさの違い**
チャレンジ数	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目
つかみ取った枚数	24枚	29枚	21枚	25枚	19枚

この場合,標本数は5,各標本の大きさは24,29,21,25,19ということになります。

標本の大きさ（サンプルサイズ）を計算する

　まず調査に必要な標本の大きさ（サンプルサイズ）を（目安として）決定するためには母分散が分かっている必要があります。しかし実際には母分散を知ることはできないので,過去の調査や類似の調査を参考にして推定する必要があります。また,過去の調査から母分散が分からない場合であっても,変動係数や比率を知ることができればそれらの値を基に必要な標本数を計算することができます。

1.　母分散が分かっている場合

手順-1　信頼水準を決める（それによって標準誤差の何倍（λとする）で考えるかが決まる）。

信頼水準	68%(68.3%)	95%(95.5%)	99%(99.7%)
λ(大雑把に考える場合)	1	2	3
λ(正確な値)		1.96	2.58

手順-2　許容誤差を設定する（許容誤差とは標本誤差をどの程度まで許容するかということ）。

手順-3　標準誤差を次式によって求める（d：許容誤差,σ_xバー：標準誤差）。

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手順-4　標本の大きさを次式によって求める（n：標本の大きさ,σ²：分散）。

例題-1　大きさ1000の母集団からある値を信頼水準95%で誤差が640人以下になるように推定したい。過去の調査から母集団の分散はだいたい4であることが分かっている。このとき必要な標本の大きさ（サンプルサイズ）を求めよ。

解　説

　まず信頼水準が95%なのだから

λ=2

となる。次に許容誤差を640人以下にしたいのだから

d=640/1000=0.640

となるので,dとλから標準誤差を計算することができる。

σ_xバー=0.640/2=0.32

　以上の値を基に標本の大きさnを求める。

n=4/0.32^2=39.0625≒39

　したがって,39程度の標本を集めれば良いことになる。

2.　変動係数が分かっている場合

　変動係数とは標準偏差を平均値で割ったものです。変動係数から標本の大きさ（サンプルサイズ）を求めるには次の式を使います。

　　（C：変動係数,e：許容誤差率）

例題-2　過去の調査から生活費の変動係数が60%であることが分かっている。生活費の推定値の許容誤差率を信頼水準95%で5%を超えないようにするにはどの程度の標本の大きさ（サンプルサイズ）が必要となるだろうか。

解　説

　変動係数Cは0.60,信頼水準95%だからλは2,許容誤差率eは0.05であるので

n=(2^2*0.60^2)/0.05^2=576

となり,576程度の標本を抽出すればよいことが分かる。

3.　比率が分かっている場合

　例えば事前に「群馬県の人口約20%の人が～を支持している」とか,あるいは「日本人の30%が毎年,海外へ行っている」という情報がある場合は比率を基に必要な標本の大きさ（サンプルサイズ）を決めなければなりません。

　ここで比率をpとすると次式によって分散を知ることができます。

σ²=p(1-p)

　上の例でいえば

σ²=0.20(1-0.20)=0.16
σ²=0.30(1-0.30)=0.21

となるわけです。

　この結果を利用して比率の標準誤差を次式によって計算することもできます。

例題-3　人口10万人のある市において5人以上で構成された世帯は全人口の約20%であることが過去の調査から分かっている。このとき信頼水準95%,許容誤差2000人として必要な標本の大きさ（サンプルサイズ）を求めよ。

解　説

　まずは許容誤差dを求める。

d=2000/100000=0.02

　次に比率から分散を推定する。

σ²=0.2(1-0.2)=0.16

　必要な標本の大きさｎを求める（ｎを求める公式は"分散が分かっている場合の式を用いる"）。

n=（λ²σ²）/d²=(2^2*0.16)/0.02=1573

　したがって,1573程度の標本を抽出すれば良い。

参考文献

松井博「標本調査入門」日本統計協会