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最終更新日： 2009.7.30
自由度 「なぜn-1で割るの？」という疑問
統計の勉強をし始めると、大体の人が「分散を計算するとき、なぜnではなくn-1で割るの？」という疑問をもつようです。しかしこれは自由度について理解すれば、特に悩むことなくすんなりと納得できてしまうことなのです。
■ 自由度って何なの？
自由度について、簡単なパズルゲームを解きながら考えていってみましょう。
まずは以下のような3つのマス目を書いてみてください。
さて、このマス目には自由に3つの数字を書き入れることができます。ただし、3つのマス目にある全ての数字を足すと10になるようにしてください。全てのマス目の合計が10を超えてもだめですし、10に満たなくてもだめです。ちょうど10になるように数字を入れていってください。
最初の時点では3つあるマス目のどれにでも好きな数字を自由に入れることができます。例えば、最初のマス目に4という数字を入れてみたとします。
| 4 |
すると残りのマス目は2つとなりますが、この時点でもまだ2つのマス目に好きな数字を自由に入れることができます。もちろん、すでに1つ目のマス目に4という数字が入っていますから、6以下の数字でなければなりません。そこで今度は2という数字を入れてみます。
| 4 | 2 |
最後に残されているマス目は1つですが、この1つのマス目に入るべき数字はただ1つに決まってしまいます。なぜなら、4+2=6となるので、全てのマス目の合計が10になるためには、最後のマス目には4以外の数字は入れることができないからです。つまり、この時点で（2つの数字を入れた時点で）自由に数字を設定できないということです。
まとめてみると、3つのマス目があるときには自由に値を入れられるマス目は2つだけです。2つのマス目に値が入れられた時点で、3つ目のマス目に入る値は必ず1つに決まるからです。この自由に値を入れられるマス目のことを自由度というのです。だから、今回の場合では2つの自由度をもっていたということになります。
統計学では、一般にサンプルサイズをn、パラメータをpとすると、自由度はn-pとして表されます。これは「1つのパラメータを推定するたびに1つの自由度を失う」ということを意味しています。
■ 統計学の場面で考えると・・・
仮に10個のデータが以下のように得られているとしましょう。
| 10 | 2 | 3 | 8 | 7 | 3 | 3 | 9 | 11 | 5 |
統計学ではパラメータを推定するわけです。パラメータというのは真値、あるいは母数（母集団の値）のことです。例えば平均値なんかもパラメータですし、分散もパラメータです。さらにいえば、回帰分析における切片や回帰係数、因子分析における因子負荷量などもパラメータです。これらは結局、標本値から推定するしかないわけですね。
ここで上記のデータ（n = 10）より平均値を求めてみましょう。平均値とは、ご存知の通り、全データの合計を全データ数（n = 10）で割ったものです。
(10 + 2 + 3 + 8 + 7 + 3 + 3 + 9 + 11 + 5) / 10 = 6.1
さて、この時点で平均値というパラメータを1つ推定したということになります。つまり自由度が1つ減ったということです。平均値を推定したことによって、自由度は(n - 1) = (10 - 1) = 9になったということです。
それでは続いて分散を求めてみましょう。分散の公式は次の通りです。
Var = sum(x_i - x_mean) ^2 / (n - 1)
x_iはi番目のデータ、x_meanは平均値、nはサンプルサイズです。この分散の公式の中に平均値が含まれているのが分かりますね。これは「分散を求めるためには、まず平均値を推定していなければならない」ということです。また、分散の公式の分母は自由度なのですが、なぜ自由度がn-1なのかはもう分かりますね？すでに平均値を推定して、1つの自由度を失っているからです。
考え方を変えて見ると、不偏分散ではない
Var = sum(x_i - x_mean) ^2 / n
という公式は違和感のあるものでしょう。だって、平均値を推定しているのに自由度がnというのはおかしいからです。平均値を推定したのだから、自由度はn-1になっているはずでしょう？
■ まとめ
