一対比較法
一対比較法といっても,私が知っている限りで少なくとも
の2種類あります。
サーストンの一対比較法
A〜Hまでの8つの対象を対比較します。例えば8種類のケーキがあったとき,1位から8位までの順位付けを行うのは以外にも大変です（これを順位法といいます）。だからこのようなときにはケーキAとケーキBといったようにすべてのケーキを2組ずつ比べて評価させるべきなのです。
ところがこの一対比較法にも扱いにくいところがあります。それは「比較する対象の数が増えるととんでもない回数の評価をすることになる」ということです。例えばA〜Hまでの8個の対象を扱うとなると,合計で28回もの評価をするはめになるのです。だから,一対比較法を用いるときは評価対象の数に注意しましょう。
| 美味しいと思うケーキの方に丸をつけてください。 ケーキA [ ] [ ] ケーキB ケーキA [ ] [ ] ケーキC ケーキA [ ] [ ] ケーキD ケーキA [ ] [ ] ケーキE ケーキA [ ] [ ] ケーキF ケーキA [ ] [ ] ケーキG ケーキA [ ] [ ] ケーキH ケーキB [ ] [ ] ケーキC ケーキB [ ] [ ] ケーキD ケーキB [ ] [ ] ケーキE ケーキB [ ] [ ] ケーキF ケーキB [ ] [ ] ケーキG ケーキB [ ] [ ] ケーキH ケーキC [ ] [ ] ケーキD ケーキC [ ] [ ] ケーキE ケーキC [ ] [ ] ケーキF ケーキC [ ] [ ] ケーキG ケーキC [ ] [ ] ケーキH ケーキD [ ] [ ] ケーキE ケーキD [ ] [ ] ケーキF ケーキD [ ] [ ] ケーキG ケーキD [ ] [ ] ケーキH ケーキE [ ] [ ] ケーキF ケーキE [ ] [ ] ケーキG ケーキE [ ] [ ] ケーキH ケーキF [ ] [ ] ケーキG ケーキF [ ] [ ] ケーキH ケーキG [ ] [ ] ケーキH |
このような調査用紙を74人の被験者に実施した結果が表2の通りになったとします。例えば[A, B]のセルに入力されている72という数は「AとBとを比較してAの方が美味しいと評価した人数」である。対してセル[B, A]の2という数は「AよりもBの方が美味しいと評価した人数」とういことになる。
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| A | 0 | 72 | 73 | 70 | 73 | 73 | 69 | 60 |
| B | 2 | 0 | 32 | 1 | 18 | 6 | 2 | 1 |
| C | 1 | 42 | 0 | 1 | 19 | 17 | 2 | 1 |
| D | 4 | 73 | 73 | 0 | 59 | 63 | 44 | 22 |
| E | 1 | 56 | 55 | 15 | 0 | 24 | 9 | 7 |
| F | 1 | 68 | 57 | 11 | 50 | 0 | 15 | 10 |
| G | 5 | 72 | 72 | 30 | 65 | 59 | 0 | 18 |
| H | 14 | 73 | 73 | 52 | 67 | 64 | 56 | 0 |
データ分析の手順だが,まずはすべての数値を全観測数である74で割る（表3）。これは選択率を求めているわけである。
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| A | 0.00 | 0.97 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | 0.99 | 0.93 | 0.81 |
| B | 0.03 | 0.00 | 0.43 | 0.01 | 0.24 | 0.08 | 0.03 | 0.01 |
| C | 0.01 | 0.57 | 0.00 | 0.01 | 0.26 | 0.23 | 0.03 | 0.01 |
| D | 0.05 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.80 | 0.85 | 0.59 | 0.30 |
| E | 0.01 | 0.76 | 0.74 | 0.20 | 0.00 | 0.32 | 0.12 | 0.09 |
| F | 0.01 | 0.92 | 0.77 | 0.15 | 0.68 | 0.00 | 0.20 | 0.14 |
| G | 0.07 | 0.97 | 0.97 | 0.41 | 0.88 | 0.80 | 0.00 | 0.24 |
| H | 0.19 | 0.99 | 0.99 | 0.70 | 0.91 | 0.86 | 0.76 | 0.00 |
さらに選択率から標準正規分布の逆関数を求める。これはExcelのNORMSINV関数を用いればよい。そして最後に列平均を求めればそれが尺度値となる。
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| A | #NUM! | 1.93 | 2.21 | 1.61 | 2.21 | 2.21 | 1.49 | 0.88 |
| B | -1.93 | #NUM! | -0.17 | -2.21 | -0.70 | -1.40 | -1.93 | -2.21 |
| C | -2.21 | 0.17 | #NUM! | -2.21 | -0.65 | -0.74 | -1.93 | -2.21 |
| D | -1.61 | 2.21 | 2.21 | #NUM! | 0.83 | 1.04 | 0.24 | -0.53 |
| E | -2.21 | 0.70 | 0.65 | -0.83 | #NUM! | -0.46 | -1.17 | -1.31 |
| F | -2.21 | 1.40 | 0.74 | -1.04 | 0.46 | #NUM! | -0.83 | -1.10 |
| G | -1.49 | 1.93 | 1.93 | -0.24 | 1.17 | 0.83 | #NUM! | -0.70 |
| H | -0.88 | 2.21 | 2.21 | 0.53 | 1.31 | 1.10 | 0.70 | #NUM! |
| 平均値 | -1.57 | 1.32 | 1.22 | -0.55 | 0.58 | 0.32 | -0.43 | -0.90 |
補足 標準正規分布の逆関数などというと,いかにも数学的で難しそうだが実際に自分で試してみればそう難しいことではない。標準正規分布とは「平均が0,標準偏差が1である正規分布」のことだが,例えば-∞から0までの面積は0.5である。これはExcelのワークシートで
=NORMDIST(0,0,1,1) Rだとpnorm(0)
とすれば確認できる。この関数はX軸（パーセント点）から確率（面積）を求めるための関数だ。逆に今度は
=NORMSINV(0.5) Rだとqnorm(0.5)
としてみると,これは答えが0として返ってくる。これはつまり面積からX軸の値を求めるための関数でなのである。ちなみに-1.39214E-16と表示されるのは「限りなく0に近い」という意味で,-1.39214の前に0が16個つくという意味で0.000000000000000139214ということ。
引用文献
遠藤健治著 例題からわかる心理統計学 倍風館
シェッフェの一対比較法
基本的には前述した方法と同じです。ただし今回は,例えば,ケーキAとケーキBを比べる際に
| 対象α | とても美味しい （4点） |
やや美味しい （2点） |
同程度 (0点) |
やや美味しい （-2点） |
とても美味しい （4点） |
対象β |
| ケーキA | ＊ | ケーキB |
といったように「どちらのケーキがどの程度おいしいか」を被験者に尋ねます。上の場合においてはケーキBの方がやや美味しいと感じると回答したことになります。このような形式で回答を求め,その結果を集計したものが表1です。
| とても美味しい | やや美味しい | 同程度 | やや美味しい | とても美味しい | ||
| ケーキA | 10 | 13 | 41 | 33 | 10 | ケーキB |
| ケーキA | 3 | 12 | 47 | 26 | 19 | ケーキC |
| ケーキA | 2 | 9 | 32 | 12 | 52 | ケーキD |
| ケーキB | 23 | 32 | 30 | 12 | 10 | ケーキC |
| ケーキB | 27 | 11 | 31 | 13 | 25 | ケーキD |
| ケーキC | 21 | 7 | 10 | 33 | 36 | ケーキD |
さて分析法ですが,これは思っている以上に簡単です。表1のデータ行列をAとすると次のように表せます。
続いて美味しさの程度を表す得点4,2,0,-2,-4を行列Bとして次のように表します。
ここで A * B を計算します。
これを従属変数（目的変数）として「ダミー変数を用いた回帰分析」を行います。
| ケーキA | ケーキB | ケーキC | ケーキD | AB | |
| ケーキA - ケーキB | 1 | -1 | 0 | 0 | -40 |
| ケーキA - ケーキC | 1 | 0 | -1 | 0 | -92 |
| ケーキA - ケーキD | 1 | 0 | 0 | -1 | -206 |
| ケーキB - ケーキC | 0 | 1 | -1 | 0 | 92 |
| ケーキB - ケーキD | 0 | 1 | 0 | -1 | 4 |
| ケーキC - ケーキD | 0 | 0 | 1 | -1 | -112 |
ちなみにAB（行列の積）はRで簡単に計算できます。
> A %*% B #行列の積
ダミー変数を用いた回帰分析も簡単です。
> myData <- excel.w(5) #Excelからデータの読み込み
Read 30 items
> myData
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 -1 0 0 -40
[2,] 1 0 -1 0 -92
[3,] 1 0 0 -1 -206
[4,] 0 1 -1 0 92
[5,] 0 1 0 -1 4
[6,] 0 0 1 -1 -112
> y <- myData[,5]
> x1 <- myData[,2]
> x2 <- myData[,3]
> x3 <- myData[,4]
> result <- lm(y ~ x1 + x2 + x3) #関数lm()を使って回帰分析
> summary(result) #結果の要約
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3)
Residuals:
1 2 3 4 5 6
42.0 -35.5 -6.5 -6.5 48.5 -42.0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 73.00 60.10 1.215 0.3485
x1 155.00 52.05 2.978 0.0967 .
x2 129.50 73.61 1.759 0.2206
x3 272.50 99.67 2.734 0.1118
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
前節でやったサーストンの一対比較法の最終段階で求めた尺度値に当たるものが,この偏回帰係数です。すなわち,
y = 73.00 + 155.00 * x1 + 129.50 * x2 + 272.50 * x3
という回帰方程式の定数項がケーキAの尺度値,x1の係数がケーキBといったようになっていきます。この定数項と係数をプロットしたものが下図です。
結果としてケーキDが最も美味しいと評価されたようです。格段にまずかったのがAでCとBは同じくらいの味であるようです。
参考文献
上田太一郎監修 Excelで学ぶ営業・企画・マーケティングのための実験計画法 オーム社
