標準偏差と標準誤差

　全国の中学生の知能指数は平均値100,標準偏差15の正規分布に従っているものとしましょう（下図参照）。

　この母集団からサンプルサイズ5の標本を3回抽出してそれぞれの平均値を求めてみましょう。

1回目のサンプリング　・・・　68.06503　　84.77600　　105.92845　　105.36806　　92.08634　　　(平均値)=91.24478

2回目のサンプリング　・・・　132.07795　　99.03655　　101.03786　　94.10822　　77.63753　　　(平均値)=100.7796

3回目のサンプリング　・・・　111.65247　　101.06047　　99.78502　　89.65482　　75.74566　　　(平均値)=95.57969

　すると,標本平均値は母平均値（μ=100）よりも小さかったり,あるいは大きかったりして完全に母平均と一致することはほとんどありません。要するに真の値（母平均）と推定値（標本平均）との間に誤差が生じるわけでありまして,これがいわゆる標本誤差と呼ばれるものです。しかし,一般に母平均を知ることはできないので標本誤差を知ることはできません。

　ところで,ある母集団から何回もサンプリングすればサンプリングした数だけ標本平均値が得られます。例えば上の例では3回サンプリングを行ったので3個の標本平均値が得られます。この標本平均値の分布の標準偏差のことを標準誤差といいます。

　この標準誤差（S.E.）は

S.E.＝sd/sqrt(n)

で計算することができます。ここでsdは標準偏差,nはサンプルサイズです。

　実際に1回目のサンプリングで得られた5個の標本値から標準誤差を求めてみましょう。

S.E.=15.77127/2.236068=7.053125

　ここで重要なのはこの7.053125という値が何を意味しているのかということです。これは一言でいってしまえば「平均の推定精度」を表しているのです。つまり標準誤差の値が大きいほど推定の精度が低いということを示しています。

　推定値の95%信頼区間は

標本平均±標準誤差*1.96

で求められるので,この公式に値を入れてみると,

95%信頼区間=[91.24478-7.053125*1.96　,　91.24478+7.053125*1.96]=[77.42066　,　105.0689]

となります。これは標本平均値91.24478が77.42066～105.0689の区間に存在する確率が95%であることを意味しています。例えば標準誤差が20として計算してみると,

95%信頼区間=[91.24478-20*1.96　,　91.24478+20*1.96]=[52.04478　,　130.4448]

となり,信頼区間が広がってしまうわけです。だから標準誤差はなるべく低い方が良いといえるのです。

ここを確認！！

　データの分布と標本平均値の分布の違いを理解できていますか？

　標準偏差と標準誤差の違いを理解できていますか？