多重比較法について
t検定と一元配置の分散分析について理解していることを前提として説明していきます。
多重比較を行うのは「3群以上の代表値を扱う場合には多重性の問題が生じる」からです。例えば,次のようなデータについて考えてみましょう。
| 1群 | 7 , 5 , 4 , 8 , 9 , 4 , 6 , 7 |
| 2群 | 4 , 4 , 3 , 6 , 5 , 7 , 6 , 3 |
| 3群 | 8 , 9 , 9 , 6 , 7 , 5 , 9 , 4 |
2群の平均値の差を検定するにはt検定を使用し,3群以上の平均値を扱う場合には分散分析を使用するのが一応の慣わしなので,通常であればこのデータの場合には一元配置の分散分析を行うということになります。
しかし,分散分析では全体として平均値に差があるかどうかは分かっても,例えば1群と2群を比較した場合や2群と3群を比較した場合にどちらの群の平均値が大きいかということは分かりません。かといって,考えられる全ての組合せについてt検定を行うのも前述したような「検定の多重性の問題」が生じてしまうので望ましくありません。
このように3群以上のデータの平均値を比べ,かつ,それぞれの群間についての平均値に差があるかどうかを確かめる場合には,多重比較法と呼ばれるいくつかの方法を適用することになります。
ところで,3群以上のデータがある場合に多重比較法を用いるのであれば一元配置分散分析を行うことは無意味なのかと考えてしまうところです。多くの書籍やwebサイトなどでは「一元配置の分散分析を行って有意であった場合に多重比較を用いる」と説明されていますが,分散分析と多重比較法を併用することによって,そこにまた多重性の問題が生じてしまうので正しくないといえます（永田靖,吉田道弘『統計的多重比較法の基礎』サイエンティスト社 p-34）。
とはいっても,論文を投稿する際には受理する側の対処として「分散分析を行って有意である場合に多重比較を用いるべきである」などといった方針を貫いているような場合には,それに妥協しなければならないこともあるでしょう。。。
§1 パラメトリック検定における多重比較法
以降に説明する多重比較法は母集団分布が正規分布に従い,かつ,全ての群（標本）の母分散が等しいと仮定したうえで用いることができます（もともと,パラメトリック検定とはそういうものなのですから当たり前といえば当たり前ですが、、、）。
例題-1 k個の標本すべてに対して対比較を行う方法 ― テューキー法
| 標本サイズ | 平均値 | 分散 | 標本サイズ×分散 | |||||||
| 標本A | 6 | 12 | 10 | 9 | 11 | 8 | 10 | 10.00 | 2.00 | 12.00 |
| 標本B | 6 | 6 | 5 | 6 | 7 | 4 | 5 | 5.50 | 1.10 | 6.60 |
| 標本C | 6 | 9 | 10 | 6 | 7 | 11 | 9 | 8.67 | 3.47 | 20.80 |
| 標本D | 6 | 5 | 4 | 8 | 10 | 9 | 12 | 8.00 | 9.20 | 55.20 |
| 合計 | 24 | 94.60 |
今回の場合は4個の標本全てに対して対比較を行うのですから,その全ての組合せは次のようになります。
｛A,B｝ {A,C} {A,D} {B,C} {B,D} {C,D}
☆テューキー法は次のようなときに使用します
まずは標本Aと標本Bについて考えてみます。
（誤差自由度）＝（標本サイズの合計）−（標本数）＝24-4=20
（誤差分散）＝（"標本サイズ×分散"の合計）/（誤差自由度）＝94.60/20=4.73
上のように式に値を代入して計算するとｔAB＝3.58となります。これを専用の数値表から読み取った値と比べるとｔAB=3.58＜3.958となり,求めたｔ値の方が大きいので標本Aと標本Bの平均値に差は認められないといえます。
同様にしてｔAC,ｔAD,ｔBC,ｔBD,ｔCDを計算してみると
ｔAC=1.06＜3.958
ｔAD=1.59＜3.958
|ｔBC|=|-2.51|＜3.958
|ｔBD|=|-1.99|＜3.958
ｔCD=0.53＜3.958
となり,結局,どの群間においても平均値に差があると認められないようです。なお,今回は小数点2位までで計算しましたが本来はもう少し有効桁数を増やしておく方がよいです。また,数値表から読み取った値と比べるときは,求めたt値の絶対値と比較します。
例題2 第1群と第2群から第k群までの平均値を比較する方法 ― ダネット法
| 標本サイズ | 平均値 | 分散 | 標本サイズ×分散 | |||||||
| 標本A | 6 | 12 | 10 | 9 | 11 | 8 | 10 | 10.00 | 2.00 | 12.00 |
| 標本B | 6 | 6 | 5 | 6 | 7 | 4 | 5 | 5.50 | 1.10 | 6.60 |
| 標本C | 6 | 9 | 10 | 6 | 7 | 11 | 9 | 8.67 | 3.47 | 20.80 |
| 標本D | 6 | 5 | 4 | 8 | 10 | 9 | 12 | 8.00 | 9.20 | 55.20 |
| 合計 | 24 | 94.60 |
用いるデータは例題1と同じですが,今回比較する対象は次のようになります。
｛A,B｝ {A,C} {A,D}
前例と何が違うかというと,前例ではすべての組合せについて平均値に違いがあるかどうかを確かめたのに対して,今回の場合は標本Aとそれ以外の標本との違いを知りたいわけです。したがって,（例えば）標本Aと標本Bの平均値は同じかということだけでなく,標本Aと比べて標本Cは大きいか,あるいは標本Aと比べて標本Dは小さいかということを考慮したいときに適用すべき手法なのです。
☆ダネット法は次のようなときに使用します
では標本B〜Cの平均値は標本Aの平均値よりも大きいといえるかどうかを考えてみましょう。前述したように今回,比べるのは以下の組合せです。
｛A,B｝ {A,C} {A,D}
ｔ統計量を求める式はテューキー法の場合と全く同じですので,（使用データもテューキー法のときと同じなので）計算結果も同じになります。
ｔAB=3.58＜3.958
ｔAC=1.06＜3.958
|ｔBC|=|-2.51|＜3.958
ダネット法ではこれに加えて次式よりρを求めます（標本Aと標本Bの場合）。
実際に計算してみると,
ρAB＝6/6+6＝0.5
ρAC＝6/6+6＝0.5
ρAD＝6/6+6＝0.5
となります。・・・えぇーい!!メンドクサイ!!
要するに,実際の計算はコンピュータを用いるのだからどのような時にどの多重比較法を用いればよいのかを把握し,結果を解釈する際に気をつけるべきことを理解しておけば良いのだ（その気になったら詳しく載せるかも・・・）。
| 目的 | 比較する群の組合せ（4群の場合） | ||
| パラメトリック検定に対する多重比較法 | テューキー法 | 全ての群について対比較する | {1,2,} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} |
| ダネット法 | 第1群（対照群）とそれ以外の群（処置群）との比較をする | {1,2} {1,3} {1,4} 1群=対照群,それ以外=処置群 | |
| ノンパラメトリック検定に対する多重比較法 | スティール・ドゥワス法 | 全ての群について対比較する（テューキーのノンパラ版） | {1,2,} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} |
| スティール法 | 第1群（対照群）とそれ以外の群（処置群）との比較をする（ダネットのノンパラ版） | {1,2} {1,3} {1,4} 1群=対照群,それ以外=処置群 | |
| ボンフェローニ法 | 得られたデータが度数の場合に用いる多重比較法 | {1,2} {1,3} {1,4} →注1 |
注1 ボンフェローニ法
ｎ×ｋ分割表にまとめられた度数について多重比較を行う。
a b c d 処置1 23 45 44 68 処置2 30 20 23 55 処置3 29 19 37 39 処置4 31 50 40 21
比べるのは以下の組合せになる。
｛処置1,処置2｝ ｛処置1,処置3｝ ｛処置1,処置4｝
