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最終更新日： 2009.9.6
代表値とバラつき
■ 平均値
標本とはデータの集まりと考えればよいのですが、標本データを代表するような値のことを代表値といいます。これは皆さんもよくご存知の平均値のことだと考えればよいです。統計学の教科書には中央値という代表値についても載っていますが、実際には中央値について考えることは少ないので詳しい解説は省きます。また、中央値に関する検定手法もありますが、後に述べるように実際には使う必要がありません。とはいえ、平均値ははずれ値（極端に逸脱した値）の影響を受けるのに対して、中央値ははずれ値の影響を受けないという特徴があります。こうしたことからも、中央値は「使えない」代表値であるということを言っているのではありません。
実は平均値といってもいくつか種類があるのですが、単に平均値といった場合には算術平均、あるいは相加平均と呼ばれているもののことを指しています。この平均値という代表値は次式によって計算することができます。
さて、meanとは「平均値」という意味です。統計学では平均値のことをaverageとはいわず、meanというのが一般的です。nはサンプルサイズ（データ数）で、xiはi番目の標本データのことを表しています。例えば、ある標本Aは{10, 12, 6, 9, 10}というデータの集まりであるとします。この標本Aの平均値は：
mean = (10 + 12 + 6 + 9 + 10) / 5 = 9.4
と計算されます。
ちなみに、今回得られている標本は1つなので「標本数は1」で、この標本を構成しているデータ数は5つなので「標本の大きさは5」です。標本の大きさはサンプルサイズともいいますが、よく標本数と標本の大きさ（サンプルサイズ）を混同している人がいるので気をつけてください。これは統計学の専門家と称されている人でも誤って使っている場合があるので、参考書を読むときなどには特に注意しましょう。
■ 分散
統計学において代表値は解釈上でも重要な意味を持ちますが、それ以上にデータのバラつきを表す指標、すなわち散布度について考えることが重要となります。この散布度というのは、要するに各々のデータが平均値からどれほど離れているか、ということを考えることに違いないのです。
ここで横軸に標本データの番号を、縦軸に標本データの値をとってプロットしてみましょう。データを図示することをプロットといい、このような図のことを散布図といいます。さらにこの散布図に先ほど求めた平均値を表す線を描いてみます。
問題は平均値からの離れ具合をどのような指標で表すかということです。まず考えつくであろうことは「平均値からの差をとり、それらを合計したもの」を使うことでしょう。試しに計算してみましょうか？
標本は{10, 12, 6, 9, 10}であり、平均は9.4であるから、平均からの差は：
{(9.4 - 10), (9.4 - 12), (9.4 - 6), (9.4 - 9), (9.4 - 10)}
として計算されます。これらを合計すると：
-0.6 + (-2.6) + 3.4 + 0.4 + (-0.6) = 0
となり、結局は0になってしまいます。これはどのようなデータ群であっても0になることが数学的に証明することができます。この平均からの差のことを、統計の専門用語では残差、あるいは偏差といいます。そして、これらの合計を残差和といいます。
はてさて、どんな場合でも0になってしまうのでは残差和はバラつきを表す指標として使えません。そこで次に考えるとすれば残差をそのまま合計するのではなく、残差を自乗して合計するという方法です。それを計算してみましょう。
-0.6^2 + (-2.6)^2 + 3.4^2 + 0.4^2 + (-0.6)^2 = 19.2
これはなかなか以ってうまい具合にバラつきを表す指標として使えそうです。各残差を自乗（平方）して合計したので、これは平方和（SS, Sum of Squares）と呼ばれています。ところが、この平方和は新たなデータを加えると、それがどのようなデータであっても平方和を増加させるという性質をもっているのです。つまり、データ数が増えれば増えるほど、平方和の値もそれに伴って大きくなるということです。
これに対する対処法は「データ数で割る」ということでしょう。実はこの平方和をデータ数で割ったものが分散（variance）と呼ばれる、おそらく統計学で最も重要となる指標の1つなのです。分散を求める式は以下のようになります。
さて、この計算式の分母は平方和で、分子はデータ数となっていますが、正確にはこれは正しくありません。なぜなら、分散の計算式の分子はデータ数ではなく自由度であるべきだからです。すなわち、平方和は自由度で割られるべきということです。
■ 自由度
それでは自由度（DF, Degrees of Freedom）について説明しましょう。自由度とは「最初の段階では{（全データ数） - （パラメータ数）}であり、1つのパラメータを推定するたびに1つの自由度を失うもの」と覚えておきましょう。最初の段階とは、いうまでもなくパラメータを1つも推定していない段階のことです（ちなみにパラメータとは母数、真値のことです）。
分散の計算において、すでにmeanというパラメータ（母平均）を1つ推定しているので、この段階で自由度は5 - 1 = 4となっているのです。したがって、分散の正確な計算式は次のようになります。
これは不偏推定量と呼ばれるもので、特に不偏分散といいます。もちろん、データ数（n）で割る公式が間違いというのではなく、仮に母集団の値から分散を計算するときはそれでよいのです。ただ、我々は標本値から母平均を推定しているので自由度で割るべきだということです。
この自由度は後々に重要な意味をもってきますから、必ず「1つのパラメータを推定するごとに1つの自由度を失う」ということを覚えておきましょう。
