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最終更新日： 2009.9.6
正規分布
統計学において最も重要な分布はこの正規分布であり、多くの理論は母分布（母集団の分布）が正規分布に従うという仮定の下に成り立っています。また、この世の多くのデータは正規分布に従うことが経験的に知られており、身近な例をあげれば身長のデータなどは正規分布に従うとされています。
例えば、ある高校の全校生徒200人分の身長データが得られているとしましょう。この200人分ものデータを視覚的にうまく表現するためにはヒストグラムを用います。ヒストグラムとは、データの区間を定めて、その区間に当てはまる生徒が何人いるかをカウントしていき、それを図で表したものです。それではこの作業を具体的に例示してみましょう。
仮に{146, 160, 162, ..., 148}といったように200個のデータがあったとします。このとき、まず区間幅を設定することから始めるわけですが、ここでは区間幅の境界値を{135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180}といったように5cmきざみで区切ることとします。つまり、135から140までを1区間、140から145までを1区間、・・・ といったように区切っていくわけです。このそれぞれの区間に当てはまる身長の生徒が何人いるかをカウントしていくと、次のようにまとめられます。
| 区間幅 | 度数 |
| 135〜140 | 1 |
| 140〜145 | 2 |
| 145〜150 | 12 |
| 150〜155 | 32 |
| 155〜160 | 51 |
| 160〜165 | 60 |
| 165〜170 | 24 |
| 170〜175 | 14 |
| 175〜180 | 4 |
そして横軸に身長の区間幅を、縦軸に区間幅に属する生徒の度数をプロットすると次のようなヒストグラムが描かれます。分布の形状としては160辺りを中心に、ほぼ左右対称に鐘形のような形になっているのが見てとれるでしょう。簡単にいってしまえば、このような形状をした分布のことを正規分布といいます。ただし、数学的に正規分布とはこういうものである、という説明をするとなると少し話が難しくなります。
ここでは数学的な説明はできるだけ少なくして、正規分布の性質について解説しましょう。この正規分布は平均と分散（標準偏差）という2つのパラメータをもっており、この2つの値があれば左右対称の鐘形状の曲線を描くことができます。なお、正規分布について考える場合には分散ではなく標準偏差を用いた方が便利です（標準偏差は分散の平方根をとったものです： sd = sqrt(var)）。
と、ここであまりにあっさりと標準偏差（SD, Standard Diviation）の説明を済ませてしまいましが、例えば分散が30である場合には標準偏差は5.48となります。これはsd = sqrt(30) = 5.48と計算されたに過ぎません。sqrt(30)は√30のことですが、ワープロ上での表記ではルートを√と書くのではなく、sqrt()を用いるのが暗黙の決まり事です。
それでは、実際に平均が160、標準偏差が7である正規分布はどのようになるかを確かめてみましょう。そのためにはコンピュータを用いるべきですが、Rを用いれば容易にこうした作業をこなすことができます。
ここで横軸は身長を表しているのですが、縦軸のことは気にしなくてもよいでしょう。一応説明しておくと、縦軸は確率密度といって横軸が160のときに約0.057という値をとります。重要なことは、この曲線の内側の面積は確率を表しているということです。つまり、全面積は理論的に必ず1になります（確率が1を超えることはないのだから）。これを利用すれば、例えば身長が170cm以上ある人はどのくらいの確率で存在するかということを知ることができます。そのためには170を境界として右側の面積を求めればよいわけです（下図の灰色の部分）。
この正規分布の曲線を描く関数をf(x)とすれば、170以上の部分（灰色の部分）の面積を求めるということは、数学的にいうとf(x)を170から∞まで積分するということです。実際に計算をしてみると、灰色の部分の面積は0.077となり、約8%（0.077 * 100 = 7.7%）の確率で身長が170cm以上である生徒が存在するということが分かります。言い換えれば全体の7%の生徒は身長が170以上であるということです。もっといえば、全生徒数が200人なのですから、10人中7人、それを2倍して14人くらいは170cm以上の生徒がいるだろうというわけです。
■ 練習問題
(1) 上の例において、身長が170以下である確率はいくらか。ヒント： 全面積（確率）は1である。
(2) 160以下である確率はいくらか。ヒント： 160は平均値である。
(3) 150以上、170以下である確率はいくらか。ヒント： 平均値160を境に左右対称である。
−解答−
(1) 全面積が1であるのだから、170以下の面積は1 - 0.08 = 0.92となる。
(2) 全面積が1であるならば、平均値以下（あるいは平均値以上）である確率は0.5となる。
(3) 平均値を中心として左右対称になっているのだから、170から∞の区間の面積は、-∞から150の区間の面積と等しいことになる。したがって、1 - 0.08 * 2 = 0.84と計算される。あるいは、160から∞の区間の面積は0.5であり、170から∞の区間の面積は0.08であることから(0.5 - 0.08) * 2 = 0.84と考えても同じことである。
参考文献
