独立性の検定

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最終更新日：　2009.9.8

独立性の検定（χ²検定）

　分割表の解析法としてよく知られている（教科書に載っている）方法がχ²検定と呼ばれる手法であるが、より正確にいえば独立性の検定というべきである。また、ここでは詳しい計算式を載せることはしないが、別の方法としてフィッシャーの正確確率検定と呼ばれる手法がある。簡単にいえば、この方法はより正確なp値を求めるためのものであり、どのような場合であってもフィッシャーの正確確率検定を用いるのが好ましい。また、古典的な教科書には「フィッシャーの正確確率検定は2*2分割表にのみ適用できる」と書いてあることがある。しかし、コンピュータが発達した現在ではm*n分割表の場合でも問題なく計算することができる。

　以下の分割表（2*2分割表）に対して独立性の検定を行ってみよう。

	信じる	信じない
男性	69	86
女性	124	90

　独立性の検定では次のような帰無仮説：

A要因（性別：　男性、女性）とB要因（信仰：　信じる、信じない）は互いに独立である（関連がない）

という仮説について検定することになる。また、これに対する対立仮説は次のように立てられる。

A要因とB要因は互いに独立でない（関連がある）

　次式によって計算される検定統計量：

は自由度(r - 1)(c - 1)のカイ自乗分布に従う。ここに、ｆ_jkは各セル（j行k列のセル）の度数、n_jは行和（j行目の合計）、m_kは列和（k列目の合計）、Nは全観測度数である。また、n_jm_k / Nは各セルの期待値と呼ばれるものである（これを理論度数などともいう）。

■　ソフトウェアによる実行

> dat <- matrix(c(69, 86, 124, 90), ncol=2, byrow=T)
> dat
     [,1] [,2]
[1,]   69   86
[2,]  124   90

> chisq.test(dat) # ピアソンのカイ自乗検定

        Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  dat 
X-squared = 5.9699, df = 1, p-value = 0.01455

> fisher.test(dat) # フィッシャーの正確確率検定

        Fisher's Exact Test for Count Data

data:  dat 
p-value = 0.01151
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 
95 percent confidence interval:
 0.3754468 0.9028772 
sample estimates:
odds ratio 
 0.5831872