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最終更新日：　2009.9.8

多変量分散分析



　多変量解析の一手法に多変量分散分析という手法がある。これを利用して対応ありのデータを解析することができるのでそれを紹介する。ただし、これに用いる統計量は行列計算をすることになるので、コンピュータなしに手計算で練習するというわけにはいかない。したがって、ここではRのmanova()関数の使い方を主に説明していく。

　少し難しい話になるが、多変量分散分析とは応答変数（目的変数、従属変数）が多変量である場合の分散分析である。通常の分散分析は、応答変数Yをカテゴリカル型の説明変数で説明しようとするモデルである。

Y = A　（ただし、Aはカテゴリカル型）

　これに対して多変量分散分析は次のようなモデル式で表現される。

Y1, Y2, ..., Yk = A　（ただし、Aはカテゴリカル型）

　ところで、カテゴリカル型の変数とはいくつかの水準をもつような名義尺度、あるいは順序尺度のデータのことである。例えば、性別などは男性と女性といったように2つの水準をもつカテゴリカル型の変数である。別の例でいえば、学年などは1年、2年、3年といった3つの水準をもつカテゴリカル型の変数であるといえる。前者の性別は水準間に順序関係がないが、後者の学年は順序関係をつけることができる。このように、カテゴリカル型データについて、順序関係をもたせることができるデータのことを順序尺度という。そうでない場合は名義尺度であるが、原則として、ほとんどの場合においてカテゴリカル型といったら名義尺度として扱われる（詳しくは一般線形モデルを参照のこと）。

　例えば下表のようなデータセットに多変量分散分析を適用してみよう。これはNH中学校において100m走のタイムを3本測ったときの記録である。ここで扱う問題は1回目、2回目、3回目の経時データを性別によって有意に説明できるか（区別できるか）ということである。これは男性と女性の100m走の平均値の差の検定と同等なことをしているわけである。また、この多変量分散分析は判別分析と呼ばれる多変量解析の手法ともよく似た方法である。

1回目 2回目 3回目 性別
16
15
12
11
14
18
16
15
19
18
18		 16
16
13
11
16
20
17
18
17
19
20		 18
20
21
19
19
21
25
20
21
22
24		 Male
Male
Male
Male
Male
Female
Female
Female
Female
Female
Female


■　ソフトウェアによる実行

> one <- c(16, 15, 12, 11, 14, 18, 16, 15, 19, 18, 18)
> two <- c(16, 16, 13, 11, 16, 20, 17, 18, 17, 19, 20)
> thr <- c(18, 20, 21, 19, 19, 21, 25, 20, 21, 22, 24)

> sex <- rep(c(1, 2), c(5, 6))
> sex <- factor(sex, levels=c(1, 2), labels=c("Male", "Female"))

> result <- manova(cbind(one, two, thr) ~ sex)

> summary(result, test="Wilks")
          Df  Wilks approx F num Df den Df  Pr(>F)  
sex        1 0.2509   6.9673      3      7 0.01651 *
Residuals  9

　ここではウィルクスのΛと呼ばれる検定統計量を用いているが、実際にはこのWilks = 0.2509という値をF値に近似させており、その値がapprox F = 6.9673と計算されているのが確認できるであろう。p値の解釈は通常の分散分析の場合と同じで、p = 0.01651なので5%水準で検定を行ったならば、sexという要因は有意に多変量Y群を説明しているといえる。しかし、この辺りの解釈は一般線形モデルのページでモデル解析についての基礎を学んでいないと難しく感じるかもしれない（特に分散分析の基本原理をよく理解しておくことが重要である）。