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最終更新日： 2009.9.7
1標本問題： 平均値の推定と検定
以下のような実験データが得られた。このデータより母平均が50に等しいかどうかを確かめよ。
| 50, 50, 44, 46, 57, 51, 51, 35, 45, 52 |
帰無仮説H0を
とし、これに対する対立仮説H1を
として、帰無仮説について5%水準（α = 0.05）で検定を行う。
検定統計量は次式によって計算され、この値は自由度n - 1のt分布に従う。
ここにX_barは標本平均値、μは仮定される母平均、Vは分散、nはサンプルサイズである。今回の場合はX_bar = 48.1, μ = 50, V = 35.66, n = 10であるから、これを上式に代入すると次のようになる。
t = abs(48.1 - 50) / sqrt(35.66 / 10) = 1.0062
自由度9（10 - 1）のt分布において、得られた検定統計量1.0062は下図の灰色部分との境界値である。この境界値の上側確率がp値であり、p = 0.3406となる。今回は有意水準をα = 0.05と設定したのだから、得られたp値はこれよりも大きい。したがって、帰無仮説は採択される。
■ 信頼区間の計算
95%の信頼区間は以下のようにして求められる。
ここにX_barは標本の平均値、t(n-1, α=0.05)は自由度n - 1のt分布において両側面積が0.05となる（つまり片側面積が0.025となる）境界値のことである。sは標本の標準偏差、nはサンプルサイズ、μは母平均である。
下図の灰色の部分は両側で0.05になる。つまり片側0.025となるわけである。そしてこの境界値は-2.26, 2.26である。
実際に95%の信頼区間を計算してみると以下のようになる。
48.1 - 2.26 * (5.97 / sqrt(10)) < μ < 48.1 - 2.26 * (5.97 / sqrt(10))
43.83 < μ < 52.37
なお、この95%信頼区間に仮定された母平均（μ = 50）が含まれていなければ、5%水準で帰無仮説を棄却することになる。今回の場合だと、95% C. I. = [43.83, 52.37]の区間内には50が含まれているので5%水準で帰無仮説は採択されたというわけである。
■ ソフトウェアによる実行
以上の作業はRという無料の統計ソフト（ある人は統計ソフトではなく、統計解析システムなのだという）を使用すれば簡単に実行することができる。基本的な問題を練習で何度かこなしてみたならば、後はコンピュータを使って解析を行った方がよい。なぜならば、現代において手計算で検定統計量を計算することは単なる手間でしかないし、p値はコンピュータでなければ計算するのは難しいからである。数式の内容を理解しようとするならば、自分で検定統計量を計算するための関数を定義（プログラミング）してみるのもよい勉強になる。
> dat <- c(50, 50, 44, 46, 57, 51, 51, 35, 45, 52) > t.test(dat, mu=50) One Sample t-test data: dat t = -1.0062, df = 9, p-value = 0.3406 alternative hypothesis: true mean is not equal to 50 95 percent confidence interval: 43.82844 52.37156 sample estimates: mean of x 48.1
