成績表から生徒個人の特徴を把握する　-主成分分析-

　こんな相談があります。

「学期末会議でクラスの生徒たちの成績状況を分かりやすくまとめて発表してください,と教頭からいわれました。でも40人もいる生徒の成績をいったいどうやってまとめればよいのか分かりません。いったい,どうすればよいでしょうか。」

　確かに40人もいる生徒たちの成績を分かりやすくまとめてください,などといわれても困ってしまいます。生徒1人ずつの成績表をみて「この生徒は数学とか物理の成績が悪いな」などと確認していくのでしょうか。それとも,それぞれの科目を担当している先生から学期末テストの点数を聞いて,何科目かの総合得点をいちいち計算ればよいのでしょうか。

　このような場合,例えば主成分分析を適用するのが良いと考えられます。主成分分析とは,多変量データをより少ない合成変量に集約してデータ全体の見通しを良くするための分析手法です。また,主成分得点を2次元上に表現する事によって,変数やサンプルの空間的位置を把握することができます。

　以降はRを使用できる環境を前提として説明していきます（Rで主成分分析を行うなどを参照）。Excelなど不要です。

分析に使用するデータ：high_school_seiseki.txt

出席番号 第1主成分得点 第2主成分得点

1 1.582936839 -1.5220604

2 -0.537826703 1.6541007

3 0.107779259 -0.3360464

4 -1.339367803 1.6458563

5 -0.518339098 -0.9694271

6 0.56463459 0.4187902

7 -0.460786126 -0.5081576

8 -3.835256411 -0.1219991

9 4.390589061 1.2460054

10 -1.065840658 -2.1189701

11 0.88965137 -2.1296075

12 0.025867056 1.6218532

13 0.622551373 -0.2127815

14 1.706311238 0.6949106

15 -4.388392854 -0.2224101

16 3.576488484 1.4740242

17 -1.420980043 1.955178

18 -0.46371393 1.0884253

19 -1.553382532 -2.4269649

20 0.654889129 2.1793252

21 -0.925155591 -2.2186976

22 2.636966949 -4.3815841

23 -0.003840951 3.0584993

24 -3.671026721 0.30667

25 0.622551373 -0.2127815

26 -0.138107283 0.7276969

27 0.033114522 2.0628684

28 0.556040582 -0.7322433

29 5.939514732 0.112436

30 -4.388392854 -0.2224101

31 0.224344812 -1.5373944

32 1.206797102 -0.1348594

33 -2.167312578 -1.5931965

34 -0.769682532 -0.7337524

35 0.60564689 1.4322832

36 -0.672180527 1.4677978

37 0.443649071 -1.7179022

38 -0.467773641 0.1492993

39 -3.675727383 0.8805166

40 6.072761785 -0.1232904

科目 第1主成分得点 第2主成分得点

現代文 -0.769186 0.3290435

古文 -0.8050064 0.2253984

数学 -0.6153364 -0.7218898

化学 -0.7267785 -0.5411639

生物 -0.8640411 -0.3842595

物理 -0.6084828 -0.7451559

歴史 -0.7540588 0.4363017

世界史 -0.7419279 0.4055256

政治経済 -0.7542756 0.4162302

英語 -0.6827235 0.3582401

　まず右側の図を見てください。これをみるとx軸（横軸）を境に上下に科目が分かれていることが分かります。つまりx軸より上にある科目は文系（と称されている）科目で,x軸より下にある科目は理系（と称されている）科目といったようにです。

　次に左側の図を見てください。これはサンプルプロットと呼ばれるもので,この図より各生徒の特徴が分かるのです。そこでまずは軸の解釈から説明しますと,変数プロット（右図）とサンプルプロットは次元の方向性として同じものを示しています。つまり,変数プロットではy軸のプラス方向に行くほど文系色が強くなり,マイナス方向に行くほど理系色が強くなることがわかりました。同じようにサンプルプロットにおいても,y軸は科目分野を表すものとしてとれます。x軸は総合得点です。

　例えば22番の生徒をみてみると,彼（彼女）は理系の科目がかなり得意だが文型科目は苦手という両極端な生徒であることが分かります。総合得点が低いのは数学や物理の評価は高くても,他の科目が極端に低かったためであると考えられます。

　続いて30番の生徒についてみてみます。30番の生徒は総合得点が高く,かつ文系よりでも理系よりでもありません。要するに文系科目も理系科目もできる優秀な生徒であることが分かります。

　さらに30番とは対極の位置にある40番の生徒についてみてみましょう。彼（彼女）は総合得点が低く,かつ文系よりでも理系よりでもありません。これはつまり,どっちもできない馬鹿な生徒である事を示しています。彼（彼女）には補習なりする対策が必要なわけですね。