t分布の命題
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最終更新日： 2009.9.6
t分布、F分布、χ2分布
■ t分布
正規分布に次いでよく利用される分布がt分布でしょう。この分布は平均値の推定と検定をはじめとする多くの検定において利用されており、t分布を利用した検定のことを総称してt検定といいます。そしてこのt分布には以下のような重大な命題があります。
t分布の命題
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この命題を用いると平均値の95%信頼区間を求めることができます。ためしに{50, 39, 51, 45, 61, 40}というデータの95%信頼区間を求めてみましょう。まずx_barは標本平均値で、μは母平均、sは標本標準偏差、nはサンプルサイズですから、これらをまとめておきましょう。
x_bar = 47.67, μ = ???, s = 8.19, n = 6
これらの値を上の命題にある数式へ代入すると：
(47.67 - μ) / (8.19 / sqrt(6 - 1)) = (47.67 - μ) / 3.66
となります。ここで自由度5のt分布において、両側面積が0.05となる確率点（パーセント点、quantile）は下側-2.571と上側2.571となります（この値はコンピュータで計算します）。下の図を見てください。これは自由度5のt分布を描いたもので、確率点というのは横軸の値です。そして下側-2.571というのは、左側の灰色の部分との境界値のことを指しています。同様に上側2.571というのは右側の灰色の部分との境界値のことです。
両側面積が0.05になるということは、片側面積が0.025となるわけです。だから左右それぞれの灰色の部分の面積は0.025となり、両方あわせて0.05になるというわけです。また、面積とは確率のことでしたから、両側の面積のことを両側確率、片側の面積のことを片側確率といいます。片側確率の場合、左側の面積を下側確率、右側の面積を上側確率といって区別しています。
さて、95%の信頼区間を求めるためには（1標本問題のページで詳しく解説しますが）：
-2.571 ≦ (47.67 - μ) / 3.66 ≦ 2.571
を計算することによって得られ、これは結局：
39.07 ≦ μ ≦ 56.26
と計算されます。もっとも、実際には自分で計算する必要はなくて、Rなどの統計ソフトを利用すれば簡単に計算することができます。ただ、最初の数回は練習のために自分で計算してみるとよいでしょう。
■ F分布
F分布は3群以上の平均値の差の検定（分散分析）などで利用されている分布です。F分布を用いても、t分布と同じように95%の信頼区間を求めることができます。しかし、F分布よりもt分布を用いた方が精度が高いので、普通は平均の信頼区間を求めるためにF分布を用いることはありません。
F分布の命題
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t分布は1つの自由度をもっていましたが、F分布は2つの自由度をもっており、自由度の組合せによって形状もかなり異なったものとなります。試しに自由度が(1, 5)の場合、(4, 2)の場合、(12, 12)の場合をプロットしてみましょう。
■ χ2分布
χ2分布は分散の信頼区間を求めることに利用することができ、独立性の検定などで用いられている分布です。
χ2分布の命題
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実際には分散の95%信頼区間を求めるような場合はそう多くないので、ここではその計算例を示すことはしません。χ2は1つの自由度をもつのですが、形状はF分布に似ており、自由度が高くなるほど（つまりサンプルサイズが大きくなるほど）正規分布のような鐘形の曲線を描くようになります。ここでは自由度が2、4、13の場合をプロットしてみましょう。
参考文献
