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最終更新日：　2009.9.10

パス図とモデル式

　共分散構造分析の最大の特徴は複雑なモデルをパス図によって表現することであろう。実際、ほとんどの専用のソフトウェアにはパス図を出力する機能が備わっている。例えば、応答変数Yは2つの説明変数X1とX2によって説明される、といった重回帰モデルをモデル式で表現すると式1のように書ける。

Y = X1 + X2　・・・（式1）

　より正確に数式で表現すると式2のようになる。

Y = a + b1*X1 + b2*X2　・・・（式2）

　ただし、共分散構造分析では基本的にデータを標準化（基準化）して解析するので、定数項のaは0とされる。したがって、推定するパラメータはb1とb2の2つということになる。なお、式2の係数は偏回帰係数であるが、共分散構造分析では非標準化解と呼ばれることが多い。それに対して式3の係数は標準化偏回帰係数であり、これは標準化解と呼ばれる。

Y = b1*X1 + b2*X2　・・・（式3）

　これをより視覚的に分かりやすくしたものがパス図である。ためしに式3をパス図で表現してみると次のようになる。パス図において、b1とb2はパス係数と呼ばれる。

■　パス図を描くときのいくつかのルール

　パス図を描くにあたって、原則として観測変数は四角で囲み、潜在変数は楕円で囲むことになっている。また、誤差項は丸で囲むことになっている。それから、一方向の矢印はY = XをY←Xで表現するために使われ、両方向の矢印は変数同士の相関関係を表すために使われる。例えば、X1とX2の相関関係はX1⇔X2と表現される。そしてパス係数は矢印上に書くことになっている。

　ところで、実は標準化回帰係数は2変数の相関係数に等しく、標準化されたデータに対して回帰分析を行って得られるY = b1X1のb1（標準化偏回帰係数）はYとX1の相関係数と一致する。ただし、これは単回帰分析についていえることで、重回帰分析ではこの通りではないことに注意すべきである。

観測変数は四角で囲む	潜在変数は楕円で囲む	誤差は円で囲む
両方向矢印はYとXの相関関係を表す	一方項矢印はY = Xというモデル式を表す	矢印にパス係数αを書く

■　パス図をモデル式に分解する

　ここでひとつ練習をしてみよう。下のパス図はいわゆる検証的因子分析モデルを表現したものである。これはどのようなモデル式が集まってできているモデルであるだろうか。ただし、ここではf1とf2の相関関係（γ1）については考えなくてよい。

　このパス図は以下のモデルによって構成されている。このように因子分析は観測変数を応答変数、想定される因子を説明変数とした回帰モデルであることがわかる。説明変数が観測変数だろうと潜在変数だろうと、モデル式が持つ意味は変わらない。だから、モデル解析の基礎が身についていれば、結果の解釈に戸惑うこともないのである。

X1 = f1
X2 = f1
X3 = f2
X4 = f2

　もっと複雑なパス図ではどうだろうか。例えば、以下のようなパス図はパッと見ただけではその意味が分からないだろう。このような複雑なモデルを解釈するときであっても、落ち着いて1つ1つの単純なモデルを考えていけば、モデルの解釈を前にして呆然と立ち尽くすようなことにはならない。

　これは以下のような個々のモデルによって構成されている。全体のモデルとしては複雑だが、1つ1つのモデルでは決して複雑なモデルではないことがわかるだろう。ところで、x1 = η1とx2 = η1という2つのモデル式はx1, x2 = η1という1つのモデルでも表すことができる。これは応答変数が複数ある場合の回帰モデルであり、このようなモデルを多変量回帰モデルという（多変量分散分析は説明変数がカテゴリカル型であったのに対して、この多変量回帰モデルは説明変数が連続型である）。