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実験計画法の基礎



 このページでは

の2つを簡単に紹介します。



Contents
  1. 実験計画法の基本的な考え方
    1. 要因と水準
    2. 実験計画法の目的
    3. 実験の方法
    4. ラテン方格と直交表
  2. 実験計画法によって得られたデータの分析方法
    1. 分散分析表とは何だったのか
    2. 交互作用の分析


1. 実験計画法の基本的な考え方

■ 要因と水準

 要因とは「ある結果に対して影響を及ぼすもの」といえるでしょう。例えば,学校の期末テストの成績という結果には勉強時間という要因が関係しているでしょう。またスーパーの売り上げなどには品揃えとか店員の態度などといった要因が関係しているといえます。

 そして要因には水準というものがあります。前述した例をあげると,勉強時間という要因の中には数学の勉強時間や英語の勉強時間という水準が存在します。さらに,しスーパーの例でいうと,品揃えにも食料品の品揃えや雑貨の品揃えなどといった水準が考えられます。

 以下の表を見てください。成績については勉強時間という1要因とそれに含まれる数学,英語,物理それぞれの勉強時間という3水準があります。これを1要因3水準の実験スタイルといいます。一方で売り上げについても,品揃えと接客態度という2要因と品揃えに含まれる2水準,接客態度に含まれる3水準とがあります。これを2要因5水準(A要因が2水準,B要因が3水準)の実験スタイルといいます。

結果 要因 水準
成績 勉強時間 数学 英語 物理
売り上げ 品揃え

接客態度
食料品 雑貨

レジの速さ 明るさ 気配り


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■ 実験計画法の目的

 私たち分析者が知りたいのは,ある結果に対して最も多く影響している要因はどれかということです。もう少しいえば,ある要因が影響しているのであれば,それに含まれているどの水準が大きく関与しているのかということです。


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■ 実験の方法

 ある結果に対して影響しているであろうと考えられる要因とそれに含まれる水準を考え,これらを実験的に変化させて(組み合わせて)データを得ることが実験計画法の特徴です。ここで「実験的に変化させる」ということについて例をあげておきましょう。

例題 ある書店では大学入試の参考書の売り上げがあまり良くない。そこで店長はどうしたら参考書が良く売れるようになるかを考えたところ,2つの要因を思いついた。1つは参考書の置き位置,もう1つは分類方法です。置き位置は入り口付近,店の真ん中,店の奥という3つの条件を想定した。そして分類方法はレベル別,出版社別,大学別の3つの条件を想定した。

 以上のことをまとめておくと下表のようになります。つまり,これは2要因6水準(各要因3水準)の実験スタイルです。

要因 水準(条件)
置き位置(A) 入り口付近(a1) 真ん中(a2) 奥(a3)
分類方法(B) レベル(b1) 出版社(b2) 大学(b3)

 実験的に変化させるということは,6水準すべての組み合わせを考えて実行するということです。今回の場合は

b1 b2 b3
a1 * * *
a2 * * *
a3 * * *

という6通りの組み合わせがあり,{a1とb1},{a1とb2},...,{a3とb2},{a3とb3}と6回実験を行うことになります。

 すべての組み合わせを考えるのはけっこうややこしいですが,次のように考えると分かりやすいです。例えば3要因6水準(各要因2水準)の実験スタイルの場合,A要因,B要因,C要因の中から2つを組み合わせるのですから,

3C2 = (3 * 2) / (2 * 1) = 3(通り)

の要因同士の組み合わせがあるわけです。そして各要因ともに2水準なのですから,2×2分割表が3個あるということで,

(2×2) * 3 = 4 * 3 = 12(通り)

の実験方法があるわけです。

 もう1つ例をあげておきましょう。今度は3要因7水準(A要因が2水準,B要因が3水準,C要因が2水準)の実験スタイルです。手順を記しておきます。

  1. 要因同士の組み合わせを列挙する
  2. 要因同士の組み合わせによって作られる分割表のセル数を列挙する
  3. すべてのセル数を合計する
要因 水準
A a1 a2
B b1 b2 b3
C c1 c2
要因同士の組み合わせ 分割表 セル数
A - B

A - C

B - C
2*3

2*2

3*2
6

4

6

 すべてのセル数の合計は

6 + 4 + 6 = 16(回)

ですから,16回の実験を行うということです。

 ここで注意があります。結論をいってしまうと,3要因以上の実験スタイルは控えるべきです。その理由は要因数が増えてしまうと実験回数が増えてしまい,実質的に多くの実験を実施することは不可能だからです。例えば,3要因9水準(各要因とも3水準)の実験スタイルの場合,27回の実験を行う必要があります。しかしながら,27回も実験を繰り返すのは相当な時間と手間がかかってしまいます。

 せいぜい上の例であげた3要因7水準(A要因が2水準,B要因が3水準,C要因が2水準)の実験スタイル程度が限度です。あるいは4要因でも各要因が2水準になる程度がよいでしょう。


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■ ラテン方格と直交表

 さて,上述したように要因に含まれる水準すべての組み合わせを考えて,それを実行していたら大変な実験回数になってしまいます。もちろん,要因数と水準数が少ない場合は問題ありません。ここでは,要因数と水準数が多くなっても効率的に実験を行うことができる方法を紹介します。

ラテン方格による実験計画

1. 3要因9水準(各要因が3水準)の実験スタイル

要因 水準
A a1 a2 a3
B b1 b2 b3
C c1 c2 c3

水準の組み合わせ(実験回数は9回)

A B C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a1 b3 c3
a2 b1 c2
a2 b2 c3
a2 b3 c1
a3 b1 c3
a3 b2 c1
a3 b3 c2

2. 3要因12水準(各要因が4水準)の実験スタイル

要因 水準
A a1 a2 a3 a4
B b1 b2 b3 b4
C c1 c2 c3 c4

水準の組み合わせ(実験回数は16回)

A B C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a1 b3 c3
a1 b4 c4
a2 b1 c2
a2 b2 c1
a2 b3 c4
a2 b4 c3
a3 b1 c3
a3 b2 c4
a3 b3 c1
a3 b4 c2
a4 b1 c4
a4 b2 c3
a4 b3 c2
a4 b4 c1

3. 4要因16水準(各要因が4水準)の実験スタイル

要因 水準
A a1 a2 a3 a4
B b1 b2 b3 b4
C c1 c2 c3 c4
D d1 d2 d3 d4

 

水準の組み合わせ(実験回数は16回)

A B C D
a1 b1 c1 d1
a1 b2 c2 d3
a1 b3 c3 d4
a1 b4 c4 d2
a2 b1 c2 d2
a2 b2 c1 d4
a2 b3 c4 d3
a2 b4 c3 d1
a3 b1 c3 d3
a3 b2 c4 d1
a3 b3 c1 d2
a3 b4 c2 d4
a4 b1 c4 d4
a4 b2 c3 d2
a4 b3 c2 d1
a4 b4 c1 d3

直交表による実験計画

 とりあえず直交表についてはこちらのwebサイト(http://www.fiberbit.net/user/masa-2ogawa/crmin020.html)が分かりやすいと思います。少しまとめてみると,水準同士のすべての組み合わせ(多元配置)は上で紹介した例題で示したように,そのすべてを実行すると大変な手間になってしまいます。そこで,より少ない実験回数で多元配置と同じ効果が得られるように考えられたものが直交表なのですね。

 直交表の種類はたくさんあるのですが,ここでそれらを紹介するのは控えます(ページ内の量が多くなってきたのでね)。いずれ機会を見計らって直交表については別にページを作成します。


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2. 実験計画法によって得られたデータの分析方法

■ 分散分析表とは何だったのか

 分散分析表の意味を確認しておきましょう。分散分析については[推定と検定のページ]を参照のこと。同じページの例題をあげて説明してみます。

交互作用のない2元配置分散分析表
平方和 自由度 平均平方和 F値
缶詰の種類(列効果) 9.75 3 3.25 1.0833
猫の種類(行効果) 66.20 4 16.55 5.5166
誤差 36.00 12 3.00
111.95 19 5.89

 この表の中に「平方和」とありますが,これは「各要因の効果の大きさを表している」と考えれば分かりやすいでしょう。この値を円グラフにしてみると,どの要因がどの程度,結果に影響を及ぼしているかが視覚的に把握することができます。

 ここでいう「結果」というのは「猫の体重」ですから,猫の体重変化に対して缶詰の種類は9%ほどしか影響しておらず,ほとんど猫の種類によるということがいえます。


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■ 交互作用の分析

 ダミー変数を用いた回帰分析を行うことによって,実験計画法で得られたデータを分析することができます(その使用例)。しかし,これについては既に他のページでも紹介しているので,ここでは説明を省きます。その代わりに,ダミー変数を利用した回帰分析で交互作用の分析をする方法を紹介します。

交互作用とは?

 大学2年の時に大学の授業内で交互作用の話を講師がしていたとき,周りの人は皆,口を空けたままその説明を聞いていました。そういう人のために以下の場面を思い浮かべてください。

 どうでしょうか?上記のいずれか1つくらいは体験したことがあるでしょう。

 交互作用とはいってみれば「ある要因とある要因がかけ合わさってより大きな効果が得られること」なのです。上の例でいえば,マグロの刺身を食べる時に醤油だけよりも,わさびを入れたほうがより美味しくなりますが,これは醤油とわさびの効果がかけ合わさってより大きな効果をだしているというわけです。

回帰分析で交互作用効果を確かめる

 例えば以下のような3要因6水準(各要因3水準)の実験スタイルによって得られたデータについて交互作用の分析をしてみましょう。[ダミー変数への置き換え]

原データ
No. A要因 B要因 C要因
1
2
3
4
5
6
7
8

 上の図で「A*B」はA要因とB要因の交互作用,「A*C」はA要因とC要因の交互作用,「B*C」はB要因とC要因の交互作用であることを表しています。このデータを分析すると以下のようになります。

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   428.75      76.07   5.637    0.112
A要因         142.50      99.59   1.431    0.388
B要因         322.50      99.59   3.238    0.191
C要因          42.50      99.59   0.427    0.743
A*B           435.00     115.00   3.783    0.165
A*C            65.00     115.00   0.565    0.672
B*C            35.00     115.00   0.304    0.812

Residual standard error: 81.32 on 1 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9937,     Adjusted R-squared: 0.9559 
F-statistic: 26.32 on 6 and 1 DF,  p-value: 0.1481 

 


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