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最終更新日：　2009.9.7

3標本以上の問題：　3群以上の平均値の差の検定（分散分析）

　2群の平均値の差の検定で説明したように、3群以上の平均値を比較する場合であってもウェルチの検定を拡張した方法を採用すればよい。分散分析も頑健性があるので、多少の分布のズレならば気にせずに適用しても問題ない。分散分析の代価法としてノンパラメトリック検定のクルスカル・ワリス検定があるが、パラメトリック検定とノンパラメトリック検定のページに書いたように、いかなる場合でもウェルチの方法を拡張した方法を用いた方がよい。

　また、2群の平均値の差の検定の場合と同様に、そもそも等分散性の検定を行う必要はなく、最初からウェルチの検定を拡張した方法を用いればよい。なぜなら、等分散性の検定のような事前検定を行うことは、それ自体が多重性の問題になるからである（ただし、この辺りの判断は人によってしばしば意見が分かれる）。

　帰無仮説：

• 3群の母平均はそれぞれ等しい　（μ₁ = μ₂ = μ₃）

という仮説に対して、対立仮説：

• 3群の母平均はそれぞれ等しくない　（μ₁ ≠ μ₂ ≠ μ₃）

を立てる。ここで帰無仮説について以下の手順に従って、5%水準で検定を行う。

　まず次式によってAを計算する。

　ここに、

であり、nは第j群のサンプルサイズ、u²_jは第j群の分散である。

　続いて次式でBを計算する。

　ここに、

である。

　最後に次式を用いて検定統計量を計算する。このF値：

は自由度：

のF分布に近似的に従う。

■　ソフトウェアによる実行

> a <- c(5, 6, 6, 8, 9, 4)
> b <- c(12, 9, 8, 8, 12, 15)
> c <- c(1, 1, 5, 4, 8, 2)

> y <- c(a, b, c)
> y
 [1]  5  6  6  8  9  4 12  9  8  8 12 15  1  1  5  4  8  2
> x <- rep(c(1, 2, 3), c(6, 6, 6)) # グループを表す変数
> x
 [1] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

> oneway.test(y ~ x, var.equal=FALSE)

        One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  y and x 
F = 9.5456, num df = 2.000, denom df = 9.601, p-value = 0.00522

参考文献

• 岩原信九郎「教育と心理のための推計学」日本文化科学社（2003）